1.2 有理数
1．2.1 有理数
1．理解有理数的概念．
2．会判断一个数是整数还是分数，是正数还是负数．
3．懂得有理数的两种分类方法．
阅读教材P6，请你认真思考，你认为整数包括哪些？分数包括哪些？有理数按数的形式可以怎样来分类？你认为正有理数包括哪些？负有理数包括哪些？有理数按性质(符号)可以怎样来分类？
知识探究
1．正整数、0和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数．
2．整数和分数统称为有理数．
自学反馈
1．把下列各数写在相应的集合里．
－5，10，－4.5，0，＋2eq \f(3,5)，－2.15，0.01，＋66，－eq \f(3,5)，15%，eq \f(22,7)，2 009，－16.
正整数集合：{10，＋66，2 009，…}
负整数集合：{－5，－16，…}
负分数集合：{－4.5，－2.15，－eq \f(3,5)，…}
正分数集合：{＋2eq \f(3,5)，0.01，15%，eq \f(22,7)，…}
整数集合：{－5，10，0，＋66，2 009，－16，…}
负数集合：{－5，－4.5，－2.15，－eq \f(3,5)，－16，…}
正数集合：{10，＋2eq \f(3,5)，0.01，＋66，15%，eq \f(22,7)，2 009，…}
有理数集合：{－5，10，－4.5，0，＋2eq \f(3,5)，－2.15，0.01，＋66，－eq \f(3,5)，15%，eq \f(22,7)，2 009，－16，…}
2．有理数的分类(分两类)．
解：略．
有理数的分类标准要统一．
活动1 小组讨论
例1 在数－5，eq \f(2,3)，0，－0.24，7，4 076，－eq \f(5,9)，－2中，正数有eq \f(2,3)，7，4__076，负数有－5，－0.24，－eq \f(5,9)，－2，整数有－5，0，7，4__076，－2，分数有eq \f(2,3)，－0.24，－eq \f(5,9)，有理数有－5，eq \f(2,3)，0，－0.24，7，4__076，－eq \f(5,9)，－2．
例2 下列说法不正确的是(A)
A．正整数和负整数统称为整数
B．正有理数、负有理数和零统称为有理数
C．整数和分数统称为有理数
D．正分数和负分数统称为分数
例3 有理数：－7，3.5，－eq \f(1,2)，1eq \f(1,2)，0，π，eq \f(13,17)中，正分数有(C)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
活动2 跟踪训练
1．下列各数：－8，－1eq \f(1,3)，2.03，0.5，eq \f(6,7)，－44，－0.99，其中整数有－8，－44，负分数有－1eq \f(1,3)，－0.99．
2．下列说法正确的是(D)
A．一个有理数不是正数就是负数
B．正有理数和负有理数组成有理数
C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数
D．负整数和负分数统称为负有理数
3．有理数中，是整数而不是负数的是非负整数，是负有理数而不是分数的是负整数．
活动3 课堂小结
通过教师的引导、鼓励和不断完善，以及学生自己的概括，最后归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数.
1.2.2 数轴
1．了解数轴的概念，学会画数轴，知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应．
2．通过现实生活中的例子，从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念；通过学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想．
3．体会数形结合的思想方法，进而初步认识事物之间的联系，激发学习热情．
阅读教材P7～9，思考和回答以下问题．
1．通过阅读教材(数轴部分)，你认为画一条数轴必须包括什么？这就是数轴的三要素．请你在下面画一条数轴．
2．数轴上有些点表示有理数，如下图，指出A、B、C、D、E分别表示什么数？
3．完成教材P9的归纳，由此可见要在数轴上确定一个有理数的位置，必须确定哪两个方面？画一条数轴，把2、－3、－1.5、2eq \f(2,3)、0、－2eq \f(1,4)标在数轴上．
4．所有的有理数都能标在数轴上吗？数轴上的所有点都表示有理数吗？
5．数轴上的数都是按照正方向由小到大排列的，左边的数与右边的数大小关系怎样？正数、零、负数的大小关系怎样？由此我们可以根据数轴来比较有理数的大小关系．
知识探究
1．规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
2．数轴是一条直线，它可以向两端无限延伸．
3．数轴上原点左侧是负数，正数在原点的右侧．
自学反馈
1．数轴的三要素是原点、正方向、单位长度．
2．指出图中所画数轴的错误：
解：略．
3．如图，数轴上点A、B表示的数分别是－2.5、2．
4．在数轴上表示－1.2的点在(B)
A．－1与0之间
B．－2与－1之间
C．1与2之间 D．－1与1之间
5．数轴上表示－8的点在原点的左侧，距离原点8个单位长度；数轴上点P距原点5个单位长度，且在原点的左侧，则点P表示的数是－5．
6．画一条数轴表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来．
eq \f(1,3)，2，－4.5，0，eq \f(5,2)，－0.5, －eq \f(1,4).
解：略．
活动1 小组讨论
例 (1)画一条数轴，并表示出如下各点：±0.5，±0.1，±0.75；
(2)画一条数轴，并表示出如下各点：1 000，5 000，－2 000；
(3)画一条数轴，在数轴上标出到原点的距离小于3的整数；
(4)画一条数轴，在数轴上标出－5和＋5之间的所有整数．
解：略．
数轴的三要素、画法、适当地选择单位长度和原点的位置．
活动2 跟踪训练
1．画出数轴并表示下列有理数：1.5，－2，2，－2.5，4eq \f(1,2)，0.
解：略．
2．如图，写出数轴上点A，B，C，D，E所表示的数．
解：0，－2，1，2.5，－3.
3．在数轴上，表示数－3，2.6，－eq \f(3,5)，0，4eq \f(1,3)，－2eq \f(2,3)，－1的点中，在原点左边的点有4个．
4．在数轴上点A表示的数是－4，如果把原点向负方向移动1.5个单位长度，那么在新数轴上点A表示的数是(C)
A．－5eq \f(1,2) B．－4
C．－2eq \f(1,2) D．2eq \f(1,2)
5．一个点在数轴上表示的数是－5，这个点先向左边移动3个单位长度，然后再向右边移动6个单位长度，这时它表示的数是多少呢？如果按上面的移动规律，最后得到的点是2，则开始时它表示什么数？
解：－2，－1.
利用数轴，数形结合解题．
活动3 课堂小结
1．数轴的出现对数学的发展起了重要作用，师生共同研究，什么是数轴？如何画数轴？如何在数轴上表示有理数？
2．利用数轴，很多数学问题都可以借助图直观地表示.
1.2.3 相反数
1．理解相反数的意义．
2．掌握求一个已知数的相反数的方法．
3．提高观察、归纳和概括的能力．
阅读教材P9～10，思考并回答以下问题．
1．在数轴上，到原点的距离等于3的点有两个，这两个点表示的数是－3和3，像这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．也就是说：3是－3的相反数，－3是3的相反数．
2．数a的相反数记作－a，5的相反数记作－5，－5的相反数记作－(－5)，而－5的相反数是5，因此－(－5)＝5．
知识探究
1．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．在数轴上表示相反数的两个点的特点是关于原点对称．
3．我们规定：0的相反数是0．
自学反馈
1．数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是8.4，则这两个数是±4.2．
2．－2.3的相反数是2.3；0.01是－0.01的相反数．
3．相反数等于本身的数是0．
4．已知有理数a，则a的相反数可用－a表示．
5．表示下列各数的相反数，并求出相反数的值：
①7；②＋6.3；③－3eq \f(3,4)；④＋(－eq \f(2,3))；⑤－(＋3eq \f(5,6))；⑥－(－2.6)；⑦0.
解：－7，－(＋6.3)＝－6.3，－(－3eq \f(3,4))＝3eq \f(3,4)，－[＋(－eq \f(2,3))]＝eq \f(2,3)，－[－(＋3eq \f(5,6))]＝3eq \f(5,6)，－[－(－2.6)]＝－2.6，0.
活动1 小组讨论
例1 化简下列各数，你能发现什么规律？
(1)－[－(－3)]；
(2)－[＋(－3.5)]；
(3)＋[－(－6)]；
(4)－[－(＋7)]．
规律：负号个数为奇数时，化简得的结果为负；负号个数为偶数时，化简得的结果为正．
例2 化简下列各数，并总结一个有理数符号简化的规律．
(1)－(－eq \f(1,3))；
(2)＋(＋10)；
(3)＋(－4eq \f(1,2))；
(4)－{＋[－(－2)]}．
解：略．
例3 已知a、b在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上作出它们的相反数；
(2)用“＜”按从小到大的顺序将这四个数连接起来．
解：略．
相反数的特点和定义：到原点的距离相等，符号相反．
活动2 跟踪训练
1．－eq \f(7,4)的相反数是eq \f(7,4)；eq \f(1,3)的相反数是－eq \f(1,3)；0的相反数是0；a＋1的相反数是－a－1．
2．若x＝－4，则－(－x)＝－4；若－y＝3.1，则y＋3.1＝0；若－a＝－(－3)，则a＝－3；b－a与a－b互为相反数．
3．负数的相反数比它本身大，正数的相反数比它本身小，0的相反数和它本身相等．
4．若a＝－2，则－a＝2；若－b＝eq \f(7,4)，则b＝－eq \f(7,4)；若－c＝－8，则c＝8．
5．若x的相反数仍是x，则x＝0．
6．已知a与b互为相反数，a与b应满足关系式a＋b＝0．
7．一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是1．
活动3 课堂小结
相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述，也揭示了两个特殊数的特征．这两个特殊数在数量上具有相同的绝对值，它们的和为零，在数轴上表示时，离原点的距离相等等性质均有广泛的应用.
1.2.4 绝对值
第1课时 绝对值
1．理解绝对值的几何意义和代数意义．
2．会求一个有理数的绝对值．
阅读教材P11，思考下面的问题．
1．在数轴上和原点相距3个单位长度的点表示的数是什么？－5在原点的哪一侧，与原点相距几个单位长度？你能在数轴上标出这些距离吗？
2．通过学习，你能写出绝对值的定义吗？
3．一个有理数a的相反数怎样表示？通过本节的学习你知道一个有理数a的绝对值怎样表示吗？
知识探究
1．一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．
2．一个正数的绝对值是它本身，即：若a>0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝a；一个负数的绝对值是它的相反数，即：若a<0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝－a；0的绝对值是0(双重性)．
自学反馈
1．数轴上有一点到原点的距离为6.03，那么这个点表示的数是±6.03．所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6.03))＝6.03，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－6.03))＝6.03．
2．计算：(1)|＋13|＝13；(2)|－8|＝8；(3)|＋3eq \f(1,5)|＝3eq \f(1,5)；(4)|－8.22|＝8.22．
3．－2eq \f(1,3)的绝对值是2eq \f(1,3)，绝对值等于2eq \f(1,3)的数是±2eq \f(1,3)，它们是一对相反数．
4．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b异号，求a、b两数在数轴上所表示的点之间的距离．
解：8.
5．在|－7|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5))，－(＋3)，－|0|中，负数共有(A)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是(D)
A．1 B．＋1，－1，0
C．1或－1 D．非负数
非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
活动1 小组讨论
例1 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2))的相反数是(B)
A．2 B．－2 C．0.5 D．－0.5
例2 下列四组数中不相等的是(C)
A．－(＋3)和＋(－3) B．＋(－5)和－5
C．＋(－7)和－(－7) D．－(－1)和|－1|
例3 下列说法正确的是(B)
A．一个数的绝对值的相反数一定不是负数
B．一个数的绝对值一定不是负数
C．一个数的绝对值一定是正数
D．一个数的绝对值一定是非正数
例4 若|x－3|＋|y－2|＝0，则x＝3，y＝2．
活动2 跟踪训练
1．绝对值小于2的整数有3个，它们分别是±1，0．
2．指出下列各式中a的取值．
(1)若|a|＝－a，则a为非正数；
(2)若|－a|＝a，则a为非负数；
(3)若|a－1|＝0，则a为1．
3．已知a，b是有理数，且满足|a＋1|＋|2－b|＝0，求a＋b的值．
解：1.
注意绝对值的非负性．
活动3 课堂小结
1．绝对值的定义：有理数到原点的距离．
2．求一个有理数的相反数．
3．化简绝对值．
|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a>0），,0（a＝0），,－a（a<0）.))
第2课时 比较大小
1．理解比较有理数大小的规则的合理性．
2．会比较有理数的大小．
阅读教材P12～13，思考和回答下列问题．
1．研究两个有理数，按照正数、负数、零分类，有怎样的几种情况？
(1)正数与正数；(2)正数与零；(3)正数与负数；(4)零与负数；(5)负数与负数．
2．教材引导我们利用数轴进行有理数的大小比较．
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．
知识探究
1．在数轴上表示的两个有理数，左边的数小于右边的数．
2．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
自学反馈
1．比较－eq \f(7,8)和－eq \f(6,7)；－|－(＋5)|和－[－(＋5)]的大小，并写出比较过程．
解：－eq \f(7,8)<－eq \f(6,7)，－|－(＋5)|<－[－(＋5)]．
先化简，再比较．
2．求同时满足：①│a│＝6，②－a＜0这两个条件的有理数a.
解：a＝6.
活动1 小组讨论
例1 将有理数：－(－4)，0，－│－3eq \f(1,2)│，－│＋2│，－│－(＋1.5)│，－(－3)，│－(＋2eq \f(1,2))│表示到数轴上，并用“＜”把它们连接起来．
解：略．
例2 有理数x、y在数轴上的位置如图所示：
(1)在数轴上表示－x，－y；
(2)试把x、y、0、－x、－y这五个数用“>”连接起来．
解：(1)
(2)x>－y>0>y>－x.
数轴上的点表示的数右边的总比左边的大．
活动2 跟踪训练
1．下面四个结论中，正确的是(D)
A．|－2|>|－3|
B．|2|>|3|
C．2>|－3| D．|－2|<|－3|
2．比较大小(填“>”或“<”)．
(1)－eq \f(2,3)>－eq \f(3,4)；
(2)－eq \f(2 007,2 008)>－eq \f(2 008,2 009)；
(3)－(－eq \f(1,9))>－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,10))).
3．在数轴上表示下列各数：＋2eq \f(2,3)，－eq \f(1,2)，－(－6)，－7，－(＋3)，1，0，－1.5.并用“<”将它们连接起来．
解：略．
4．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，请比较a，b，|a|，|b|的大小．
解：
即|b|>|a|>a>b.
活动3 课堂小结
1．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．正数大于零，零大于负数，正数大于负数.