4.3 角
4．3.1 角
1．理解角的两种定义，识别角的符号．
2．知道角的几种表示方法，并能够正确表示．
3．掌握角的度量单位及度、分、秒的进位制，能够熟练的进行转换．
阅读教材P132，知道角的定义、角的表示方法．什么是周角、平角？
知识探究
1．角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，角也可以看作一条射线绕端点旋转而形成的图形．
2．如果一个角的终边旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角．继续旋转，当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫做周角．
3．角的表示方法：角用“∠”表示，读做“角”．
(1)用三个大写字母表示；
(2)用表示角的顶点的字母表示；
(3)用一个数字或一个希腊字母(α、β、γ、θ)表示．
自学反馈
1．如图，下列表示角的方法错误的为(D)
A．∠AOB
B．∠BOC
C．∠α
D．∠O
2．你能用不同的方法表示图中的各个角吗？
阅读教材P133，理解角的度量单位和换算．
知识探究
度、分、秒是角的基本度量单位．
1°的角等分成60份就是1′的角；
1′的角等分成60份就是1″的角．
角度制：1°＝60′，1′＝(eq \f(1,60))°.
1′＝60″，1″＝(eq \f(1,60))′.
1°＝3__600″.
度、分、秒是60进制的．
自学反馈
1．用度、分、秒表示：
(1)0.75°＝45′＝2__700″；
(2)(eq \f(4,15))°＝16′＝960″；
(3)16.24°＝16°14′24″．
2．用度表示：
(1)1 800″＝30′＝0.5°；
(2)50°40′30″＝50.675°．
活动1 小组讨论
例1 如图，图中的∠1表示成∠A，图中的∠2表示成∠D，图中的∠3表示成∠C，这样的表示方法对不对，如果错了，应该怎样改正？
解：不正确，∠1表示成∠DAC，∠2表示成∠ADC，∠3表示成∠ECF.
例2 38.15°与38°15′相等吗？如不相等，哪个大？
解：38°15′大．
例3 想一想：时钟在5点15分时，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
解：67.5°.
活动2 跟踪训练
教材P134练习第1、2、3题．
活动3 课堂小结
角eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(角的概念,角的表示方法,角的度量与换算))
4.3.2 角的比较与运算
1．会用量角器度量角，并会比较两个角的大小．
2．会根据图形判断角的和差倍分．
3．记住角平分线的定义．
阅读教材P134～136，理解角的比较方法及角的定义和性质，会进行角度的加减运算．
知识探究
1．比较两个角的大小，我们可以用(量角器)量出(角的度数)，然后比较它们的大小，也可以把它们(叠合)在一起比较它们的大小，这两种方法分别叫(度量法)和(叠合法)．
2．角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
自学反馈
1．如图，用心填一填：
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∠BOD＝∠COD＋∠BOC，
∠AOC＝∠AOD－∠COD，
∠BOD＝∠AOD－∠AOB．
2．细心想一想，看谁做得最快．
(1)如图1，若OB是∠AOC的平分线，则∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝eq \f(1,2)∠AOC；
图1
图2
(2)如图2，若OB是∠AOC的平分线，OC是∠BOD的平分线，你能从中找出哪些相等的角？
解：∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∠AOC＝∠BOD.
活动1 小组讨论
例 如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，且∠AOC＝130°，求∠DOE的度数．如果改变∠AOC的大小，其他条件不变，请你探究∠DOE的大小变化，从中得到的启示．
解：∠DOE＝65°，∠DOE＝∠AOC.
活动2 跟踪训练
如图，点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝80°，∠COE＝50°，OD是∠AOC的平分线．
(1)试比较∠DOE与∠AOE，∠AOC与∠BOC的大小；
(2)求∠DOE的度数；
(3)OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
解：(1)∠DOE＜∠AOE，∠AOC＜∠BOC.
(2)90°.
(3)是，因为∠COE＝∠BOE＝50°.
活动3 课堂小结
角的大小比较和运算eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(角的大小比较\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(度量法,叠合法)),角的运算,角平分线))
4.3.3 余角和补角
1．了解两个角互余或互补的意义．
2．掌握同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等．
3．理解方位角的概念，会用角描述方向，解决实际问题．
阅读教材P137～138，知道什么是补角和余角，以及它们的性质．
知识探究
1．一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1与∠2互为余角．
2．一般地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互为补角．
3．性质：等角(同角)的余角相等，等角(同角)的补角相等．
自学反馈
1．判断题：
(1)90度的角叫余角，180度的角叫补角．(×)
(2)若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互为余角．(×)
(3)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角．(×)
(4)互补的两个角不可能相等．(×)
(5)钝角没有余角，但一定有补角．(√)
(6)互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余．(×)
(7)如果∠A＝25°，∠B＝75°，那么∠A与∠B互为余角．(×)
(8)如果∠A＝x°，∠B＝(90－x)°，那么∠A与∠B互余．(√)
2．已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．
解：45°.
活动1 小组讨论
例1 如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA，OE平分∠COB.
(1)∠COB＋∠AOC＝180°，∠EOD＝90°；
(2)图中互余的角有4对，互补的角有5对．
例2 如图1，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上．同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．
画法：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间．射线OB的方向就是北偏东40°(图2)，即客轮B所在的方向．
请你在图2上画出表示货轮C和海岛D方向的射线．
解：略．
活动2 跟踪训练
1．如图，点A、O、B在同一直线上，OD平分∠AOB，∠COE＝90°.回答下列问题：
(1)写出图中所有的直角∠AOD，∠BOD，∠EOC；
(2)写出图中与∠AOE相等的角∠3；
(3)写出图中∠AOE所有的余角∠2，∠4；
(4)写出图中∠COD的补角∠EOB；
(5)写出图中∠DOE的补角∠AOC．
2．用方位角描述下列方向．
解：略．
活动3 课堂小结
1．余角、补角的概念：
(1)和为90°的两个角互为余角；
(2)和为180°的两个角互为补角．
2．余角、补角的性质：
(1)等角(同角)的余角相等；
(2)等角(同角)的补角相等．